RaYaDa FiLoSóFiCa

Nada permanece.

Bueno, creo que esto ya lo he dicho alguna que otra vez...

Sin embargo:

a) Si nada permanece, tampoco el enunciado "nada permanece" permanece; con lo cual algo permanece. Es decir, si nada permanece entonces algo permanece.

O:

b) Si nada permanece, todo cambia; con lo cual también cambiará la propia afirmación de que "nada permanece" y ya no será verdad que nada permanece. Es decir, si es verdad que nada permanece entonces no es verdad que nada permanece.

Esto es lo que se llama una paradoja.

Hace unos días José Ramón me hacía el siguiente comentario:

c) Permanece el cambio. Es consustancial con tu idea de que nada permanece, pero a la vez la contradice... ¿o no?

Bajo las tres formulaciones "a", "b" y "c" nos damos cuenta de que existe el peligro de caer en una contradicción o en una paradoja con enunciados como el de NaDa PeRmAnEcE. Hace ya bastante tiempo algún lector del blog hizo un comentario similar. Por entonces yo estaba bastante liado con no recuerdo qué y eludí la labor de profundizar en esta cuestión.

¿¿Pero a qué se dedica la gente cuando se pide un año de excedencia o de licencia por estudios??

¡Efectivamente!

Se dedica a escribir posts como éste...

Cuando hacía la carrera recuerdo en clase de Lógica una anécdota que me impactó. En 1902 el joven Bertrand Russell le escribió una carta al famoso lógico y matemático Gottlob Frege en la que le formulaba una paradoja que echaba por tierra toda la fundamentación de la lógica matemática que el maestro alemán había elaborado.

Cuando escuché la anécdota no pude evitar compadecer al viejo Frege.

Y al mismo tiempo pensé en la carta de Russell y me dije:

¿Quién es este pavo?

Por esa misma época me regalaron la autobiografía en tres tomos de Bertrand Russell (que no terminé) y pude saber algo más acerca de quién era "este pavo".

Como todos los grandes genios, Russell había sido muy precoz. Desde muy pequeño era capaz de leer a los clásicos griegos y latinos en su lengua original, y su diario íntimo lo escribía con caracteres griegos a fin de evitar que los adultos pudieran leerlo.

Fue un niño solitario y taciturno, y el descubrimiento de las matemáticas fue para él una tabla de salvación. Recordando el momento en que su hermano Frank le enseñó los Elementos de Euclides, el filósofo inglés escribió: "Este fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida, tan deslumbrantes como el primer amor. No podía imaginar que hubiera algo tan delicioso en el mundo". También añade en su autobiografía que fue tan infeliz en la escuela preparatoria que si no llegó a suidarse fue porque deseaba saber más matemáticas.

Yo soy un chico de letras y las matemáticas nunca se me dieron bien. Así que mientras más leía a Russell, más me decía:

¿Quién demonios es este pavo?

Afortunadamente, el genial Bertrand Russell también tenía su lado humano. En la contraportada de los tres tomos de su autobiografía estaba impresa esta hermosa cita, con la que él resume su existencia:

Tres pasiones simples pero abrumadoramente fuertes, han gobernado mi vida: el anhelo de amor, la búsqueda del conocimiento, y la insoportable piedad por los sufrimientos de la humanidad. Estas pasiones, como grandes vientos, me han llevado caprichosamente de acá para allá, sobre un océano de angustia, llegando al límite mismo de la desesperación.

¿Hace falta decir que a este pavo le dieron el Nobel de Literatura en 1950?

Y hablando de pavos, a mis alumnos de 1º de bachillerato les suelo explicar en qué consiste el razonamiento inductivo (y qué problemas tiene) mediante la anécdota del pavo inductivista de Russell.

Pero volvamos al "NaDa PeRmAnEce".

Tengo la impresión de que las paradojas a que da lugar el título de este blog tienen que ver con la famosa paradoja de Russell. En la wiki viene explicada bastante bien. Pero después de un año enseñando a leer y a escribir a mis pavit... quiero decir, a mis gansitos, estoy convencido de que estas cosas se entienden mucho mejor con dibujitos:

Bertrand Russell habla de los Conjuntos Normales y los define como aquellos conjuntos que no son miembros de sí mismos.

Por ejemplo el conjunto "c.1" (el conjunto de todas las mariposas) no es miembro de sí mismo, pues el propio conjunto no es una mariposa (sino un conjunto).

Por lo tanto, "c.1" es un conjunto normal (no es miembro de sí mismo).




A los conjuntos que a su vez son miembros de sí mismos Bertrand Russell los denomina Conjuntos Singulares.

Por ejemplo, el conjunto "c.2" (el conjunto de todas las cosas que NO son mariposas) sí es miembro de sí mismo, pues el propio conjunto NO es una mariposa.

Por lo tanto, "c.2" es un conjunto singular (si es miembro de sí mismo)




Pongamos otro ejemplo de conjunto singular, al que llamaremos nuevamente "c.2".

El conjunto "c.2" (el conjunto de todas las ideas abstractas) sí es miembro de sí mismo, pues el propio conjunto es una idea abstracta.

Por lo tanto, "c.2" es un conjunto singular (es miembro de sí mismo).




El problema o la paradoja de Russell viene ahora:

Imaginemos un conjunto "c.3" constituido por todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos, es decir, por todos los conjuntos normales.

Bertrand Russell se pregunta: ¿Es "c.3" un conjunto normal o un conjunto singular?

Y la respuesta conduce a una paradoja:





Si "c.3" es un conjunto singular entonces forma parte de sí mismo. Pero si forma parte de sí mismo pertenece al tipo de conjuntos normales (c.1).

Por lo tanto, si es un conjunto singular entonces es un conjunto normal.

O dicho de otra forma, si es miembro de sí mismo entonces no puede ser miembro de sí mismo.

Pongamos que "c.3" es un conjunto normal, es decir, que no forma parte de sí mismo (Lo he puesto en amarillo, fuera del círculo rojo). Sin embargo, si es un conjunto normal, debería estar incluido dentro del conjunto de los conjuntos normales, es decir, debería ser un miembro de sí mismo (El "c.3" en amarillo debería estar dentro del círculo rojo, junto al resto de conjuntos normales). Pero si es miembro de sí mismo, entonces es un conjunto singular.

Por lo tanto, si es un conjunto normal entonces es un conjunto singular.

O dicho de otra forma, si no es miembro de sí mismo entonces debería ser miembro de sí mismo.

Creo que con el enunciado "NaDa PeRmAnEcE" sucede lo mismo.

Si lo traducimos al lenguaje de los conjuntos, el conjunto "c.4" es el conjunto de todas las cosas y además todas ellas son cosas que cambian (o no permanecen): el tiempo atmosférico cambia, una cara feliz se entristece, el amor se marchita o florece, la mariposa ha dejado de ser gusano, etc...

Si tratamos a "c.4" como un conjunto normal no ocurre nada contradictorio y podemos sortear la paradoja.

Es decir, siendo "c.4" el enunciado "nada permanece" y representando el conjunto de las cosas que cambian, si pensamos que c.4 no es miembro de sí mismo, entonces no tenemos por qué incluirla dentro de las cosas que no permanecen (o cambian).

Sin embargo, si pensamos que el enunciado "nada permanece" puede referirse también a sí mismo (y no sólo al clima, a una sonrisa, al amor, a las mariposas, etc.), es decir, si lo tomamos como un miembro de sí mismo, entendiendo que "c.4" es un conjunto singular, entonces surge la paradoja que comentaba al principio del post.

Pues entonces el propio enunciado "nada permanece" (o el conjunto de las cosas que no permanecen) deben también no permanecer, cambiar. Lo que nos lleva a una negación del propio enunciado.

¿Se entiende?

A mí de tanto pensar me ha entrado hambre.

Creo que voy a fabricarme un sandwich... de pavo.